原题目：怎样求二阶张量的协变导数？《张背阴的物理课》引见微分几何中的张量

在微分几何中一阶张量、二阶张量的协变导数是怎样的？为什么协变导数下目的重量的表白式中克氏符前面会有一个负号？4月6日12时，《张背阴的物理课》第二百零七期开播，搜狐开创人、董事局主席兼CEO、物理学博士张背阴坐镇搜狐视频直播间，先给网友们温习张量的概念，而后从对一阶张量的微分变动失掉其协变导数和克氏符，并推导一阶张量协变导数的下目的重量，和二阶张量的协变导数表白式。

trong> 引见各阶张量 温习一阶张量协变导数的上目的重量

在以前的直播课中，张背阴引见了物理量的多样性。这些物理量假设依据坐标变换的个性来划分的话，可以分红各种不同阶数的张量。零阶张量其实就是标量。比如说，在疏忽温度随参考系变动的状况下，温度场T(x^α)就是一个标量场。一阶张量可以了解成以前引见过的矢量，普通可以经过加一个箭头示意为

一阶张量在三维空间中有三个重量，在四维时地面有四个重量。

除了标量与矢量，张背阴还引见过二阶张量，可以用两个箭头来示意：

在四维时地面，二阶张量有16个重量。

以大家相熟的三维空间为例，在空间坐标作出庞大变动时，标量场的微分变动为

其中矢量微元dr是

假设经常使用微分几何中罕用的记号，δT可以被写为

这就是零阶张量的微分变动的表白式，可以证明，(∂_α T)是一个一阶张量。

在上一节直播课中，张背阴引入了基矢及其对偶基，它们满足

在规范教科书中，普通经常使用“协变”、“逆变”来示意不同目的位置的量，然而这样的称号不易于直观了解。本系列课程驳回“高低”来辨别。依据上一次性直播课的推导，矢量可以按下目的基矢启动倒退：

并且可以经过如下推导失掉倒退系数的表白式：

因此可以失掉上一次性直播课所引见过的结果： 一个矢量可以示意为下基矢的线性组合，组合系数正是逆变重量（上目的重量），而逆变重量是这个矢量与上基矢的内积（点乘）。

另一方面，矢量F也可以依照上基矢来启动倒退：

并且有

由此可见： 协变重量（下目的重量）是一个矢量按上基矢启动倒退的系数，它是该矢量与下基矢的内积（点乘）。

除了高低目的重量（逆变/协变重量）之外，张背阴在上一次性直播课中还引见了矢量微分变动的上目的重量。依据张背阴的解说，矢量场F的微分变动δF依然是矢量场，因此可以按下基矢启动倒退为

依据前面的引见，该微分变动的上目的重量可以被写为它和上基矢的内积

应用微分变动的定义以及莱布尼兹规律，可以失掉

在普通的微分几何中，不同位置的基矢属于不同的矢量空间，因此不能间接相加减。上式中的下基矢的微分变动没法很好地定义，除非事前定义了平行移动，将其中一个位置的基矢“平移”到另一个位置上，再做减法，否则间接对两个位置的基矢相减是不非法的，也即，间接对基矢求坐标导数是一个不那么站得住脚的操作。

为了逃避这个艰巨，可以假定目前的笔挺时空曾经被嵌入一个高维的平直时地面，那么上式的基矢将是高维平直时空的基矢的子集。在平直时地面，不同位置的基矢是可以间接相减的，因此可以对其定义坐标偏导数，这样就可以将基矢的微分变动写为

于是，有

其中

正是矢量场F协变导数的上目的重量，等号左边第二项中下基矢对坐标的偏导数与上基矢的点乘则是克氏符：

上节课的文稿中，曾经证明了用这种模式失掉的克氏符能结构一个非法的“平移”操作，所以可以以为，之前所做的假定是自洽的。于是，协变导数的上目的重量可以被写为

矢量场协变导数由两项组成，第一项对应的是矢量场第α个上重量随坐标的变动率，第二项是下基矢随坐标的变动率在α重量上的修正，这个修正蕴含对下基矢的目的β的求和。

(张背阴给网友们温习矢量场协变导数的上目的重量)

应用基矢的对偶相关 推导一阶张量协变导数的下目的重量

依据前面的引见，一个矢量既可以按下基矢启动倒退，也可以按上基矢启动倒退，那么矢量场微分变动也可以按上基矢启动倒退，这样失掉的倒退系数为下目的重量，相应的倒退表白式为

与前面的推导相似，可以失掉

其中

是协变导数的下目的重量。此时，有的网友示意不懂，以前引见的协变导数下目的重量，其第二项前面是负号，这里怎样是正号？为了给网友们解疑，张背阴回到基矢的正交相关中：

在上式等号两头同时对坐标求偏导数，留意到等号左边是一个常数，其坐标偏导数为0，于是失掉

移项，可得

于是协变导数的下目的重量可以被写为

这正是以前直播课引见过的协变导数下目的重量的表白式。

（张背阴引见矢量场协变导数的下目的重量）

协变导数是平直时地面普通导数在笔挺时空的推行。借助普通导数，可以知道平直空间中的矢量场散度为

因此，将其中的普通偏导数换成协变导数，即可失掉笔挺时地面的矢量场散度表白式：

剖析二阶张量的基底 推导二阶张量的协变导数

从前面的剖析可以知道，推导失掉一阶张量的协变导数的重量依赖于一阶张量的基矢倒退式。因此，假设要想失掉二阶张量的协变导数表白式，也须要先失掉二阶张量的基底倒退。以两个矢量U、V经过张量积失掉的二阶张量为例，有

其中，最后一行省略了基矢张量积的符号。从中可以看到，一阶张量基矢的张量积可以作为二阶张量的基矢。关于普通的二阶张量，只管不必定能被写成两个一阶张量的积，然而必定可以依照基矢张量积作为基底启动倒退：

用上基矢从左右两头对其启动点乘可得

因此，要想失掉二阶张量的上目的重量，就须要用上基矢从左右两头对其启动点乘。之所以是从左右两头启动点乘，是由于张量积是须要严厉辨别先后顺序的，从左边启动点乘只会和最左边的基矢点乘，从左边启动点乘则会与最左边的基矢启动点乘。例如，可以失掉

除非二阶张量T是对称张量，才会有T^{mn}=T^{nm}，比如度规张量、能动张量以及里奇张量，它们都是对称张量。

有了二阶张量的基底倒退式，接上去就可以剖析它的微分变动了。二阶张量的微分变动依然是二阶张量，可以经过下基底来倒退为

将其与上基矢在左右两头启动点积可得

其中最后一行将相关量交流成了克氏符，并将求和目的一致为了t。依据上式，二阶张量协变导数的上目的重量可以写为

关于二阶张量协变导数的下目的重量，张背阴激励网友们自行推导，相应的结果为

这个结果在以前的直播课中曾经引见过，与一阶张量的状况相似，其中的克氏符前面也是负号，并且相应的求和目的也须要作出调整。

（张背阴引见二阶张量的协变导数）

据了解，《张背阴的物理课》于每周周五、周日半夜12时在搜狐视频直播，网友可以在搜狐视频APP“关注流”中搜查“张背阴”，观看直播及往期完整视频回放；关注“张背阴的物理课”账号，检查课程中的“常识点”短视频；此外，还可以在搜狐资讯APP的“搜狐科技”账号上，阅览每期物理课程的具体文章。